Cómo Se Realiza La División De Números Complejos Paso A Paso

✅ Dividir números complejos implica multiplicar numerador y denominador por el conjugado, simplificando así a la forma estándar a+bi.

La división de números complejos se realiza multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador para eliminar la parte imaginaria del denominador, y luego simplificando el resultado en forma estándar a + bi. Este proceso paso a paso permite obtener un número complejo cuyo denominador es un número real, facilitando su interpretación y uso.

En este artículo explicaremos detalladamente cómo se realiza la división de números complejos paso a paso, incluyendo ejemplos prácticos y consejos para facilitar su comprensión. Además, repasaremos las propiedades básicas de los números complejos que son fundamentales para entender esta operación algebraica.

¿Qué es un número complejo y su conjugado?

Un número complejo se expresa en la forma z = a + bi, donde a es la parte real, b es la parte imaginaria y i es la unidad imaginaria que cumple i² = -1. El conjugado de un número complejo z = a + bi es (overline{z} = a – bi), y es fundamental para la división ya que al multiplicar un número complejo por su conjugado, se obtiene un número real:

• z × (overline{z}) = (a + bi)(a – bi) = a² + b²

Pasos para dividir números complejos

Supongamos que queremos dividir el número complejo z_1 = a + bi entre z_2 = c + di. La división (frac{z_1}{z_2}) se realiza siguiendo estos pasos:

1. Escribir la división:

   (frac{a + bi}{c + di})

2. Multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador:

   Multiplicamos por c – di tanto arriba como abajo para eliminar la parte imaginaria del denominador:
   
   (frac{a + bi}{c + di} times frac{c – di}{c – di} = frac{(a + bi)(c – di)}{(c + di)(c – di)})

3. Multiplicar los binomios:

   Numerador:
   ((a)(c) + (a)(-di) + (bi)(c) + (bi)(-di) = ac – adi + bci – bdi^2)
   Como i² = -1, entonces:
   (ac – adi + bci + bd) (porque (-bdi^2 = +bd))

   Denominador:
   ((c)^2 – (di)^2 = c^2 – d^2 i^2 = c^2 + d^2)

4. Separar la parte real e imaginaria del numerador:

   Partes reales: (ac + bd)
   Partes imaginarias: (bc – ad) multiplicadas por (i)
   Por lo tanto:
   (frac{(ac + bd) + (bc – ad)i}{c^2 + d^2})

5. Escribir el resultado en forma estándar:

   (frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + frac{bc – ad}{c^2 + d^2}i)

Ejemplo práctico

Dividir (3 + 2i) entre (1 – 4i):

1. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador (1 + 4i):
   
   (frac{3 + 2i}{1 – 4i} times frac{1 + 4i}{1 + 4i} = frac{(3 + 2i)(1 + 4i)}{(1 – 4i)(1 + 4i)})
2. Multiplicamos numerador:
   
   (3 times 1 + 3 times 4i + 2i times 1 + 2i times 4i = 3 + 12i + 2i + 8i^2)
   
   (= 3 + 14i + 8(-1) = 3 + 14i – 8 = -5 + 14i)
3. Multiplicamos denominador:
   
   (1^2 – (4i)^2 = 1 – 16 i^2 = 1 + 16 = 17)
4. Resultado:
   
   (frac{-5 + 14i}{17} = -frac{5}{17} + frac{14}{17}i)

Ejemplo práctico de división de números complejos resuelto y explicado

Para entender cómo se realiza la división de números complejos de manera clara y sencilla, vamos a desarrollar un ejemplo práctico y detallado. Supongamos que queremos dividir:

(3 + 4i) ÷ (1 – 2i)

Paso 1: Entender los números complejos

Recordemos que un número complejo tiene la forma a + bi, donde a es la parte real y b la parte imaginaria. En nuestro caso:

• Dividend: 3 + 4i, con a = 3 y b = 4.
• Divisor: 1 – 2i, con c = 1 y d = -2.

Paso 2: Multiplicar por el conjugado del divisor

Para dividir números complejos, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del divisor. El conjugado cambia el signo de la parte imaginaria:

Conjugado de 1 – 2i es 1 + 2i.

Entonces:

[(3 + 4i) times (1 + 2i) ÷ (1 – 2i) times (1 + 2i)]

Paso 3: Realizar la multiplicación en el numerador

Multiplicamos usando la propiedad distributiva:

• 3 × 1 = 3
• 3 × 2i = 6i
• 4i × 1 = 4i
• 4i × 2i = 8i²

Recordemos que i² = -1, entonces:

3 + 6i + 4i + 8(-1) = 3 + 10i – 8 = (3 – 8) + 10i = -5 + 10i

Paso 4: Realizar la multiplicación en el denominador

Multiplicamos el divisor por su conjugado, lo que da un número real:

• 1 × 1 = 1
• 1 × 2i = 2i
• -2i × 1 = -2i
• -2i × 2i = -4i²

De nuevo, i² = -1, por lo que:

1 + 2i – 2i – 4(-1) = 1 + 0 + 4 = 5

Paso 5: Escribir el resultado final

Ahora, el cociente es:

[frac{-5 + 10i}{5} = frac{-5}{5} + frac{10i}{5} = -1 + 2i]

Por lo tanto, (3 + 4i) ÷ (1 – 2i) = -1 + 2i.

Tabla resumen con los pasos principales:

Consejos prácticos para realizar divisiones de números complejos

• Siempre utiliza el conjugado para eliminar la parte imaginaria del denominador.
• Recuerda que i² = -1 para simplificar correctamente los términos.
• Escribe pasos intermedios para evitar errores en el álgebra.
• Practica con diferentes ejemplos para ganar confianza.

Aplicaciones del cálculo de divisiones de números complejos

Este procedimiento es fundamental en ramas como la electrónica digital, ingeniería eléctrica y el análisis de señales donde se manipulan impedancias complejas y funciones de transferencia. Por ejemplo, al analizar circuitos con componentes inductivos y capacitivos se requiere dividir números complejos para encontrar la impedancia total.

Preguntas frecuentes

¿Qué es un número complejo?

Un número complejo es una expresión de la forma a + bi, donde a y b son números reales y i es la unidad imaginaria con i² = -1.

¿Por qué se utiliza el conjugado en la división de números complejos?

Se usa el conjugado para eliminar el término imaginario del denominador y simplificar la división a una forma estándar.

¿Cuál es la fórmula para dividir dos números complejos?

Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador y luego se simplifica el resultado.

¿Se puede dividir un número complejo por cero?

No, la división por cero no está definida ni en números reales ni en complejos.

¿Cómo se simplifica el resultado final?

Se separa la parte real y la parte imaginaria para expresar el resultado como un número complejo estándar.

¡Dejá tus comentarios abajo y no te pierdas otros artículos de nuestra web que te pueden interesar!