Cómo Resolver Inecuaciones Con Valor Absoluto Ejercicios Resueltos Fácilmente

✅ Descubrí el método infalible para resolver inecuaciones con valor absoluto paso a paso, con ejercicios resueltos súper claros y rápidos.

Para resolver inecuaciones con valor absoluto, es fundamental entender que la expresión con valor absoluto |x| representa la distancia de x al cero en la recta numérica, por lo que siempre es un número no negativo. Las inecuaciones con valor absoluto se pueden transformar en dos casos distintos, dependiendo de si se trata de una inecuación menor o mayor que un número positivo. Este método permite simplificar y resolver fácilmente los ejercicios de inecuaciones con valor absoluto.

Vas a aprender paso a paso cómo abordar y resolver estos problemas a través de ejemplos claros y ejercicios resueltos. Veremos cómo plantear correctamente las inecuaciones, dividirlas en casos según el valor absoluto y aplicar las propiedades necesarias para obtener soluciones precisas.

Conceptos Básicos para Resolver Inecuaciones con Valor Absoluto

Antes de resolver inecuaciones, repasemos qué significa el valor absoluto y cómo se comporta en distintos contextos:

• Definición de valor absoluto: Para cualquier número real a, |a| = a si a ≥ 0, y |a| = -a si a < 0.
• Interpretación geométrica: |x – c| representa la distancia entre x y un punto fijo c en la recta numérica.
• Restricciones: En inecuaciones, el valor absoluto es siempre ≥ 0, por lo que si la inecuación implica comparar |x| con un número negativo, automáticamente no tiene solución.

Formas de Resolver Inecuaciones con Valor Absoluto

Dependiendo del tipo de desigualdad, el procedimiento varía:

1. Inecuaciones con valor absoluto menor que un número positivo: Si |A| < k (con k > 0), se transforma en:

−k < A < k

Esto significa que A está dentro del intervalo abierto entre -k y k.

2. Inecuaciones con valor absoluto mayor que un número positivo: Si |A| > k (con k > 0), se convierte en:

A < −k o A > k

Esto indica que A está fuera del intervalo cerrado entre -k y k.

Ejemplos Prácticos y Ejercicios Resueltos

Para comprender mejor, veamos algunos ejemplos y cómo resolverlos:

Ejemplo 1: Resolver |x – 3| < 5

• Planteamos la doble desigualdad: −5 < x – 3 < 5
• Sumamos 3 a todos los miembros: −5 + 3 < x < 5 + 3
• Resultado: −2 < x < 8

Ejemplo 2: Resolver |2x + 1| > 7

• Descomponemos en dos casos: 2x + 1 < −7 o 2x + 1 > 7
• Resolvemos cada uno:
• 2x + 1 < −7: Restamos 1: 2x < −8 → Dividimos por 2: x < −4
• 2x + 1 > 7: Restamos 1: 2x > 6 → Dividimos por 2: x > 3
• Solución: x < −4 o x > 3

Recomendaciones para Resolver Inecuaciones con Valor Absoluto

• Identifica el tipo de desigualdad (menor o mayor que un número positivo) para aplicar la estrategia correcta.
• Plantea siempre los dos casos en las inecuaciones con valor absoluto para no perder soluciones.
• Verifica el dominio de la inecuación; si el valor absoluto se compara con un número negativo, la solución es vacía.
• Practica con distintos ejemplos para dominar la transformación de inecuaciones con valor absoluto.
• Utiliza gráficos para visualizar las soluciones en la recta numérica y comprender mejor los intervalos.

Paso a paso para transformar inecuaciones con valor absoluto en expresiones equivalentes sin valor absoluto

Las inecuaciones con valor absoluto pueden parecer complicadas al principio, pero con un método estructurado y algunos trucos, se vuelven mucho más manejables. Aquí te dejo un paso a paso para que puedas transformar cualquier inecuación con valor absoluto en una expresión sin valor absoluto y resolverla fácilmente.

1. Comprender qué significa el valor absoluto

El valor absoluto de un número representa su distancia al cero en la recta numérica, sin importar el signo. Por ejemplo:

• |3| = 3
• |-5| = 5

Esto implica que si |x| < a (donde a > 0), significa que -a < x < a. Por eso, podemos usar esta propiedad para convertir las inecuaciones.

2. Identificar el tipo de inecuación que tenés

Las inecuaciones con valor absoluto pueden tener dos formas principales:

1. |expresión| < k, donde k es positivo.
2. |expresión| > k, también con k positivo.

La resolución cambia según el caso, así que es importante identificar cuál tenés.

3. Caso 1: |expresión| < k

Esta inequación significa que la expresión está dentro del intervalo de -k a k. Así la transformamos:

• |A| < k es equivalente a -k < A < k

Por ejemplo, si tenés |2x – 5| < 3, se traduce a:

• -3 < 2x – 5 < 3

Después resolvés como una inecuación compuesta:

1. 2x – 5 > -3 ⟶ 2x > 2 ⟶ x > 1
2. 2x – 5 < 3 ⟶ 2x < 8 ⟶ x < 4

Entonces la solución es 1 < x < 4.

4. Caso 2: |expresión| > k

Esta inequación indica que la expresión está fuera del intervalo entre -k y k, es decir:

• |A| > k es equivalente a A < -k o A > k

Ejemplo: Resolver |x + 4| > 6:

1. x + 4 < -6 ⟶ x < -10
2. x + 4 > 6 ⟶ x > 2

Entonces, la solución es la unión de los conjuntos x < -10 y x > 2.

5. Considerar casos especiales y restricciones

Siempre revisá que el valor k en |A| < k o |A| > k sea positivo porque:

• Si k < 0 y tenés |A| < k, no existe solución, ya que el valor absoluto es siempre positivo o cero.
• Si k = 0 y la inecuación es |A| < 0, tampoco tiene solución.

6. Ejemplo completo con diferentes operadores

Resolvamos la inecuación: |3x – 2| ≥ 7

Transformamos en:

• 3x – 2 ≤ -7 o 3x – 2 ≥ 7

Resolvemos cada una:

1. 3x ≤ -5 ⟶ x ≤ -frac{5}{3}
2. 3x geq 9 ⟶ x geq 3

Solución: x leq -frac{5}{3} o x geq 3.

Resumen en tabla

Consejo práctico: Antes de resolver, siempre dibujá la recta numérica para visualizar las soluciones, especialmente cuando hay unión de conjuntos o intervalos.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una inecuación con valor absoluto?

Es una desigualdad que incluye una expresión con valor absoluto, donde buscamos los valores que hacen que la desigualdad sea cierta.

¿Cómo se resuelve una inecuación con valor absoluto?

Se divide la inecuación en dos casos: uno positivo y otro negativo, y luego se resuelve cada uno como una inecuación común.

¿Cuándo se usa la desigualdad «menor que» o «mayor que» en valor absoluto?

Para |x| < a, se traduce en -a < x < a; para |x| > a, se traduce en x < -a o x > a, con a > 0.

¿Qué pasa si el valor absoluto está comparado con un número negativo?

No tiene solución, porque el valor absoluto siempre es mayor o igual a cero.

¿Se pueden resolver inecuaciones con valor absoluto que incluyan variables en ambos lados?

Sí, pero es necesario analizar cada caso cuidadosamente y considerar posibles restricciones de dominio.

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