✅ Resolver ejercicios de factor común por agrupación es simple: agrupá términos similares, sacá el factor común y simplificá la expresión.
Para resolver ejercicios de factor común por grupo de manera sencilla, se debe identificar primero los términos que pueden agruparse en conjuntos con un factor común, extraer ese factor y luego aplicar la propiedad distributiva para simplificar la expresión. Este método es especialmente útil cuando los polinomios tienen más de tres términos y no presentan un factor común único para todo el conjunto, pero sí para grupos específicos de términos.
En este artículo te explicaré paso a paso cómo identificar los grupos, extraer los factores comunes de cada grupo, y luego cómo factorizar el polinomio completo utilizando el método de factor común por grupo. Además, te compartiré algunos consejos prácticos y ejemplos para que puedas practicar y resolver estos ejercicios con confianza.
¿Qué es el factor común por grupo?
El factor común por grupo es una técnica para factorizar polinomios que no tienen un factor común en todos sus términos, pero sí en grupos específicos de términos. Básicamente, se agrupan los términos en pares o grupos, y a cada grupo se le extrae su factor común. Luego, si los factores dentro de los paréntesis coinciden, se puede extraer ese factor común para completar la factorización.
Pasos para resolver ejercicios de factor común por grupo
- Dividir el polinomio en grupos: Generalmente en pares de términos, aunque puede variar según el caso.
- Extraer el factor común de cada grupo: Identificar el máximo factor común que se repite en cada grupo.
- Observar los términos resultantes: Si los términos dentro de paréntesis son iguales, extraer ese factor común.
- Obtener la factorización completa: Reunir los factores extraídos para escribir la expresión factorizada.
Ejemplo práctico
Consideremos el siguiente polinomio:
x3 + 3x2 + 2x + 6
- Grupo 1: x3 + 3x2
- Grupo 2: 2x + 6
Extraemos el factor común de cada grupo:
- Grupo 1: x2 (x + 3)
- Grupo 2: 2 (x + 3)
Ahora que ambos grupos tienen el término común (x + 3), extraemos ese factor y escribimos:
(x + 3)(x2 + 2)
Así obtenemos la factorización por factor común por grupo.
Consejos para facilitar la factorización por grupo
- Ordena los términos según las potencias o variables para facilitar la agrupación.
- Busca el máximo factor común mayor posible en cada grupo, tanto numérico como literal.
- Verifica que los paréntesis resultantes sean iguales para poder extraer el factor común entre grupos.
- Practica con diferentes ejemplos para mejorar la rapidez y precisión en la identificación de factores comunes.
Paso a paso para identificar y agrupar términos correctamente
Entender cómo identificar y agrupar términos es fundamental para resolver ejercicios de factor común por grupo. Este método es especialmente útil cuando nos enfrentamos a polinomios complejos que no permiten aplicar el factor común directo de manera sencilla.
1. Analiza el polinomio original
Lo primero es observar cuidadosamente cada término del polinomio. Por ejemplo, en el polinomio:
12xy + 8x – 15y – 10
Podemos notar que tiene cuatro términos que se pueden dividir en dos grupos para facilitar la factorización.
2. Agrupa términos en pares o grupos lógicos
Divide el polinomio en grupos de dos o más términos que tengan algún factor común entre sí. Por ejemplo:
- Primer grupo: 12xy + 8x
- Segundo grupo: -15y – 10
Este paso es clave: agrupar términos que compartan factores facilita la extracción del factor común en cada grupo.
3. Extrae el factor común de cada grupo
Extraemos el máximo factor común en cada grupo:
- Del primer grupo: 12xy + 8x, el factor común es 4x. Queda: 4x(3y + 2)
- Del segundo grupo: -15y – 10, el factor común es -5 (fijate en el signo para que quede positivo dentro del paréntesis). Queda: -5(3y + 2)
4. Verifica que los factores dentro de los paréntesis sean iguales
Este es el paso crucial para aplicar correctamente el factor común por grupo. En nuestro ejemplo, ambos grupos tienen (3y + 2), por lo que podemos agrupar:
4x(3y + 2) – 5(3y + 2) = (3y + 2)(4x – 5)
Ejemplo aplicado y explicado
En el ejemplo anterior, aplicar método de agrupación nos permitió factorizar el polinomio 12xy + 8x – 15y – 10 en dos factores:
- (3y + 2): que representa un binomio común a ambos grupos.
- (4x – 5): que combina los factores extraídos de cada grupo.
5. Consejos prácticos para no perderse
- Revisá siempre los signos: extraer el factor común puede implicar sacar un signo negativo para que los paréntesis coincidan.
- Trabajá con paciencia: en polinomios largos, agrupar puede requerir varios intentos para encontrar la división correcta.
- Utilizá el método paso a paso: primero agrupá, luego factor común, y por último verificá la igualdad de términos dentro del paréntesis.
Tabla comparativa: errores comunes y soluciones
| Error común | Solución práctica | Ejemplo ilustrativo |
|---|---|---|
| No agrupar bien los términos | Revisar los factores comunes y probar distintas agrupaciones | En 8x + 12y – 4x – 6y, agrupar (8x – 4x) y (12y – 6y) |
| No extraer el signo negativo cuando corresponde | Identificar cuando un grupo tiene que cambiar de signo para igualar términos | En 5a – 10b + 3c – 6d, extraer -1 del segundo grupo para igualar paréntesis |
| No verificar que los paréntesis coincidan | Corroborar que los términos dentro de los paréntesis sean idénticos antes de factorizar | En 6m + 9n – 4m – 6n, revisar que ambos grupos tengan (3m + 3n) antes de continuar |
Dominar estos pasos te permitirá abordar cualquier ejercicio de factor común por grupo con confianza y precisión.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el factor común por agrupación?
Es una técnica para factorizar expresiones algebraicas agrupando términos que tienen factores comunes.
¿Cuándo se debe usar el factor común por grupo?
Se usa cuando no hay un factor común en toda la expresión, pero sí en grupos de términos separados.
¿Cuál es el primer paso para factorizar por grupo?
Dividir la expresión en grupos de términos que tengan factores comunes para luego extraerlos.
¿Puedo factorizar cualquier polinomio por agrupación?
No siempre, solo cuando la expresión se puede dividir en grupos con factores comunes claros.
¿Qué hago si al factorizar por grupos no encuentro un factor común en toda la expresión?
Revisa que la agrupación sea correcta; a veces es necesario reorganizar los términos.
Puntos clave para resolver ejercicios de factor común por grupo
- Identificar los términos que se pueden agrupar.
- Extraer el máximo factor común de cada grupo.
- Verificar que los factores extraídos sean iguales para poder factorizar todo.
- Escribir la expresión como producto del factor común y la suma o resta de los factores restantes.
- Revisar el resultado multiplicando para comprobar la igualdad.
- Practicar con ejercicios variados para entender mejor la técnica.
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