✅ La fórmula resolvente, clave en álgebra, permite hallar soluciones exactas y rápidas a cualquier ecuación cuadrática. ¡Imprescindible!
La fórmula resolvente, también conocida como fórmula cuadrática, es una herramienta fundamental para encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0. Esta fórmula permite calcular directamente las raíces o valores de x que satisfacen la ecuación, incluso cuando no se puede factorizar fácilmente.
Explicaremos detalladamente cómo se utiliza la fórmula resolvente, qué significa cada uno de sus componentes y cómo aplicarla paso a paso para resolver cualquier ecuación cuadrática. Además, incluiremos ejemplos prácticos para que puedas entender su uso de manera clara y efectiva.
¿Qué es la fórmula resolvente?
La fórmula resolvente es:
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)
Donde:
- a es el coeficiente del término x²
- b es el coeficiente del término x
- c es el término constante
- √ indica la raíz cuadrada
- ± significa que hay dos soluciones: una con suma y otra con resta
Pasos para usar la fórmula resolvente
- Identificar los coeficientes de la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0.
- Calcular el discriminante, que es b² – 4ac. Esto determina la naturaleza de las raíces:
- Si el discriminante es mayor que 0, hay dos soluciones reales y distintas.
- Si es igual a 0, hay una solución real única (raíz doble).
- Si es menor que 0, las soluciones son complejas o imaginarias.
- Aplicar la fórmula reemplazando a, b y c en la fórmula y calcular las raíces.
- Resolver las operaciones dentro de la raíz cuadrada y luego las operaciones restantes para obtener las dos posibles soluciones.
Ejemplo práctico
Supongamos que tenemos la ecuación 2x² – 4x – 6 = 0. Los coeficientes son:
- a = 2
- b = -4
- c = -6
Calculamos el discriminante:
Δ = (-4)² – 4(2)(-6) = 16 + 48 = 64
Como el discriminante es mayor que 0, hay dos soluciones reales.
Aplicamos la fórmula resolvente:
x = [-(-4) ± √64] / (2*2) = (4 ± 8) / 4
Las dos soluciones son:
- x₁ = (4 + 8) / 4 = 12 / 4 = 3
- x₂ = (4 – 8) / 4 = -4 / 4 = -1
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son x = 3 y x = -1.
Paso a paso para aplicar la fórmula resolvente con ejemplos prácticos
La fórmula resolvente, también conocida como fórmula cuadrática, es una herramienta fundamental para hallar las raíces o soluciones de una ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0. A continuación, te presentamos un proceso detallado para utilizarla correctamente, acompañado de ejemplos prácticos que facilitan su comprensión.
1. Identificar los coeficientes
En la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0, los valores de a, b y c son números reales donde a ≠ 0. Estos coeficientes son la base para aplicar la fórmula.
- a: coeficiente del término cuadrático (x²).
- b: coeficiente del término lineal (x).
- c: término independiente o constante.
Ejemplo: Para la ecuación 2x² – 4x – 6 = 0, tenemos a = 2, b = -4 y c = -6.
2. Calcular el discriminante
El discriminante (Δ) es crucial porque determina la naturaleza de las raíces:
| Valor de Δ | Interpretación | Tipo de raíces |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Dos soluciones reales y distintas | Reales y diferentes |
| Δ = 0 | Una solución real doble (raíces iguales) | Reales e iguales |
| Δ < 0 | Soluciones complejas conjugadas | Complejas (no reales) |
Se calcula como: Δ = b² – 4ac.
Ejemplo: Para la ecuación anterior, Δ = (-4)² – 4(2)(-6) = 16 + 48 = 64, lo que indica dos raíces reales y distintas.
3. Aplicar la fórmula resolvente
La fórmula para encontrar las raíces es:
x = (-b ± √Δ) / (2a)
Donde:
- -b es el opuesto del coeficiente b.
- √Δ es la raíz cuadrada del discriminante.
- 2a es el doble del coeficiente a.
Ejemplo práctico completo
Dada la ecuación 2x² – 4x – 6 = 0:
- Identificamos: a=2, b=-4, c=-6.
- Calculamos discriminante: Δ = (-4)² – 4*2*(-6) = 16 + 48 = 64.
- Calculamos raíces:
- x₁ = (-(-4) + √64) / (2*2) = (4 + 8) / 4 = 12/4 = 3
- x₂ = (-(-4) – √64) / (2*2) = (4 – 8) / 4 = (-4)/4 = -1
Por lo tanto, las soluciones son x₁ = 3 y x₂ = -1.
4. Interpretación y verificación
Es fundamental verificar las soluciones sustituyendo las raíces en la ecuación original para confirmar que cumplen la igualdad:
- Para x=3: 2(3)² – 4(3) – 6 = 2*9 – 12 – 6 = 18 – 18 = 0.
- Para x=-1: 2(-1)² – 4(-1) – 6 = 2*1 + 4 – 6 = 0.
Siempre es buena práctica corroborar que las soluciones encontradas son correctas.
Consejos prácticos para usar la fórmula resolvente
- Revisar siempre el valor de a: Si a=0, la ecuación no es cuadrática y la fórmula no aplica.
- Calcular con cuidado el discriminante para evitar errores de signo o cálculo.
- Usar calculadora para raíces cuadradas cuando Δ no es un cuadrado perfecto, para obtener soluciones numéricas precisas.
- Analizar el resultado del discriminante antes de continuar para saber qué tipo de solución esperar.
- Practicar con diferentes ecuaciones para ganar confianza en la aplicación de la fórmula.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la fórmula resolvente?
Es una fórmula que permite encontrar las soluciones de cualquier ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0.
¿Cuál es la fórmula resolvente?
La fórmula es x = [-b ± √(b² – 4ac)] / (2a).
¿Para qué sirve el discriminante?
El discriminante, b² – 4ac, indica la cantidad y tipo de soluciones: reales y diferentes, reales e iguales o complejas.
¿Se puede usar la fórmula resolvente cuando a = 0?
No, porque no sería una ecuación cuadrática sino lineal. La fórmula solo aplica para a ≠ 0.
¿Qué hago si el discriminante es negativo?
Las soluciones son números complejos, y la fórmula sigue siendo válida para obtenerlas.
Puntos clave sobre la fórmula resolvente
- Se aplica a ecuaciones cuadráticas del tipo ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0.
- El discriminante (Δ) = b² – 4ac determina la naturaleza de las raíces:
- Δ > 0: dos soluciones reales y distintas.
- Δ = 0: una solución real doble.
- Δ < 0: dos soluciones complejas conjugadas.
- La fórmula es: x = [-b ± √(Δ)] / (2a).
- Para calcular la raíz cuadrada del discriminante negativo, se usan números imaginarios.
- Es fundamental simplificar la fórmula y verificar las soluciones sustituyéndolas en la ecuación original.
- La fórmula resolvente es una herramienta universal para resolver cuadráticas, evitando factores difíciles.
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